概念辨析：偏导数、方向导数及梯度

导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢？

偏导数是针对多变量函数而言的，它是将多变量函数退化成一元函数分别求各自导数，元函数有个偏导数。

以二元函数为例：Z = F（x，y），求x的偏导数就是将y变量看成常量，然后对x求导。

对于两个变量的函数，它的偏导数和定义为：

其他表示方法也有，如：

F(x,y)=x^2^+y^2^的图像：

分别求偏导，dF(x,y)/dx=2x；dF(x,y)/dy=2y，图像为：

如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点P位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，示例来自于 Directional Derivative – GeoGebra — 定向导数 – GeoGebra

方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义平面上一点以及单位向量，在曲面上，从点出发，沿方向走单位长度后，函数值为，则点处方向的方向导数为：

上面推导中使用了链式法则。其中，和分别为函数在位置的偏导数。由上面的推导可知：

该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

写成向量形式，偏导数构成的向量为，称之为梯度。

梯度，写作，二元时为，多元时为。

我们继续上面方向导数的推导，处方向上的方向导数为:

其中，为与的夹角，显然，当即与梯度同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模，

当即与梯度反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。

此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角时方向导数为正，表示方向函数值上升；时方向导数为负，表示该方向函数值下降。

至此，方才有了梯度的几何意义：

$为常数$

$为任意实数$

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